问题 问答题

如图所示,n个相同的木块(可视为质点),每块的质量都是m,从右向左沿同一直线排列在水平桌面上,相邻木块间的距离均为l,第n个木块到桌边的距离也是l,木块与桌面间的动摩擦因数为μ.开始时,第1个木块以初速度υ0向左滑行,其余所有木块都静止,在每次碰撞后,发生碰撞的木块都粘在一起运动.最后第n个木块刚好滑到桌边而没有掉下.

(1)求在整个过程中因碰撞而损失的总动能.

(2)求第i次(i≤n一1)碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比.

(3)若n=4,l=0.10m,υ0=3.0m/s,重力加速度g=10m/s2,求μ的数值.

答案

(1)整个过程木块克服摩擦力做功

   W=μmgl+μmg•2l+…+μmg•nl=

n(n+1)μmgl
2
    ①

根据功能关系,整个过程中由于碰撞而损失的总动能为

△Ek=Ek0-W      ②

得△Ek=

1
2
m
v20
-
n(n+1)μmgl
2
       ③

(2)设第i次(i≤n一1)碰撞前木块的速度为υi,碰撞后速度为υi′,则

(i+1)mυi′=imυi

碰撞中损失的动能△E时与碰撞前动能Eki之比为

  

△EKi
EKi
=
1
2
im
υ2i
-
1
2
(i+1)m
υ.•2i
1
2
im
υ2i
(i≤n-1)⑤

解得

△EKi
EKi
=
1
i+1
(i≤n-1)⑥

(3)初动能Ek0=

1
2
m
v20

第1次碰撞前

E  K1
=EK0-μmgl              ⑦

第1次碰撞后   EK1′=EK1-△EK1=EK1-

1
2
EK1=
1
2
EK0-
1
2
μmgl   ⑧

第2次碰撞前  EK2=EK1′=μ(2mg)l=

1
2
EK0-
1
2
μmgl

第2次碰撞后 EK2′=EK2-△EK2=

1
3
EK0-
5
3
μmgl

第3次碰撞前   EK3=EK3′-μ(3mg)l=

1
3
EK0-
14
3
μmgl

第3次碰撞后   EK3′=EK3-△EK3=

1
4
EK0-
7
2
μmgl

据题意有    

1
4
EK0-
7
2
μmgl=μ(4mg)l      ⑨

代入数据,联立求解得    μ=0.15         ⑩

答:

(1)在整个过程中因碰撞而损失的总动能为

1
2
m
v20
-
n(n+1)μmgl
2

(2)第i次(i≤n一1)碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比为1:(i+1).

(3)若n=4,l=0.10m,υ0=3.0m/s,重力加速度g=10m/s2,μ的数值是0.15.

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