已知复数z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和，其中x，y，x'，y'均为实数

问题解答题

已知复数z₀=1-mi（m＞0），z=x+yi和，其中x，y，x'，y'均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=

•

，|w|=2|z|．
（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式：
（Ⅱ）将（x、y）用为点P的坐标，（x'、y'）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q．已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为(

，2)，试求点P的坐标；
（Ⅲ）若直线y=kx上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k的值．

答案

（I）由题设得，|w|=|

•

|=|z0||z|=2|z|，∴|z₀|=2，

由1+m2=4，且m＞0，得m=

，∴z₀=1-

i，

∵w=

•

，

∴x′+y′i=

(1-

•

(x+yi)

)=(1+

i)(x-yi)=x+

y+(

x-y)i，

由复数相等得，

x′=x+

y′=

x-y

，

（Ⅱ）由（I）和题意得，

x-y=2

，解得

，

即P点的坐标为(

，

)．

（Ⅲ）∵直线y=kx上的任意点P（x，y），

其经变换后的点Q(x+

y，

x-y)仍在该直线上，

∴

x-y=k(x+

y)，

即(

k+1)y=(

-k)x

∵当k=0时，y=0，y=

x不是同一条直线，

∴k≠0，

于是

k+1

-k

，

即

k2+2k-

=0，

解得k=

或k=-