问题 选择题

王老师给出一道题:定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+1)=-f(x),且在区间[-1,0]上是增函数,学生甲、乙、丙、丁各给出关于函数的一条性质:

甲:f(x+2)=f(x)                  乙:f(x)在区间[1,2]上是减函数

丙:f(x)的图象关于直线x=1对称     丁:f(x)在R上有最大(小)值

王老师看后说:“其中恰有三条正确,一条不正确”,请问是谁给出了错误的性质?(  )

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

答案

∵f(x+1)=-f(x)∴f(x+2)=-f(x+1)=f(x),可得函数的周期为2,故甲正确

由函数为定义在R上的偶函数f(x)可得函数的图象关于y轴对称,且在区间[-1,0]上是增函数

∴函数f(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,故乙错误,结合函数的周期可知丁正确

∵f(x+2)=f(x)=f(-x)

∴f(2-x)=f(x)即函数的图象关于x=1对称.故丙正确

故选B

单项选择题
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