（1）y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1

=

1

4

（2cos²x-1）+

1

4

+

3

4

（2sinxcosx）+1

=

1

4

cos2x+

3

4

sin2x+

5

4

=

1

2

（cos2x•sin

π

6

+sin2x•cos

π

6

）+

5

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

（6分）

y取得最大值必须且只需

2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z，

即x=

π

6

+kπ，k∈Z．

所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为

{x|x=

π

6

+kπ，k∈Z}（8分）

（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：

①把函数y=sinx的图象向左平移

π

6

，得到函数y=sin（x+

π

6

）的图象；

②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的

1

2

倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+

π

6

）的图象；

③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的

1

2

倍（纵坐标不变），得到函数y=

1

2

sin（2x+

π

6

）的图象；

④把得到的图象向上平移

5

4

个单位长度，得到函数y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

的图象；综上得到函数y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1的图象．（12分）