f（x）=cos²x+

3

sinxcosx=

1

2

+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=

1

2

+sin(2x+

π

6

)

∵x∈[

π

4

，

π

2

]

∴2x+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]

∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，

3

2

]

∴函数在区间[

π

4

，

π

2

]上的最大值是

3 +1

2

故答案为：

3 +1

2

．