设函数f（x）=eXx2+ax+a，其中a为实数．（Ⅰ）若f（x）的定义域为R，

问题解答题

设函数f（x）=

x2+ax+a

，其中a为实数．
（Ⅰ）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（Ⅱ）当f（x）的定义域为R时，求f（x）的单减区间．

答案

（Ⅰ）f（x）的定义域为R，

∴x²+ax+a≠0恒成立，∴△=a²-4a＜0，∴0＜a＜4，

即当0＜a＜4时f（x）的定义域为R．

（Ⅱ）由题意可知：f′(x)=

x(x+a-2)ex

(x2+ax+a)2

，令f'（x）≤0，得x（x+a-2）≤0．

由f'（x）=0，得x=0或x=2-a，

又∵0＜a＜4，∴0＜a＜2时，由f'（x）＜0得0＜x＜2-a；

当a=2时，f'（x）≥0；当2＜a＜4时，由f'（x）＜0得2-a＜x＜0，

即当0＜a＜2时，f（x）的单调减区间为（0，2-a）；

当2＜a＜4时，f（x）的单调减区间为（2-a，0）．