已知M（a，b），N（sinωx，cosωx）（ω＞0），记f（x）=OM•ON

问题解答题

已知M（a，b），N（sinωx，cosωx）（ω＞0），记f（x）=

•

（O为坐标原点）．若f（x）的最小正周期为2，并且当x=

时，f（x）的最大值为5．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）对任意的整数n，在区间（n，n+1）内是否存在曲线y=f（x）的对称轴？若存在，求出此对称轴方程；若不存在，说明理由．

答案

（1）由题设条件知f（x）=asinωx+bcosωx=5sin（ωx+φ），

由已知得

2π

)=5

，得ω=π，φ=

，

所以f（x）=5sin（πx+

），．

（2）曲线f（x）有对称轴x=x₀的充要条件是5sin（πx₀+

）=±5．即πx₀+

=kπ+

即x₀=k+

，k∈Z，

令n＜k+

＜n+1 得k=n （n∈Z），

所以在区间（n，n+1）内存在曲线f（x）的对称轴，

其方程是x=n+

，n∈Z，