问题
解答题
| 已知函数f（x）=sinx+cosx， （1）若f（x）=2f（-x），求
（2）设函数F（x）=f（x）•f（-x）+f2（x），试讨论函数F（x）的单调性． |
答案
（Ⅰ）∵f（x）=sinx+cosx，∴f（-x）=cosx-sinx．
又∵f（x）=2f（-x），
∴sinx+cosx=2（cosx-sinx）且cosx≠0∴tanx=
，1 3
则
=cos2x-sinxcosx 1+sin2x cos2x-sinxcosx cos2x+2sin2x
=
=1-tanx 1+2tan2x
=1- 1 3 1+2×(
)21 3
，6 11
（Ⅱ）由题意知，F（x）=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx
=cos2x+sin2x+1=
sin(2x+2
)+1，π 4
由-
+2kπ≤2x+π 2
≤π 4
+2kπ（k∈z）得π 2
-
+kπ≤x≤3π 8
+kπ（k∈z），π 8
由
+2kπ≤2x+π 2
≤π 4
+2kπ（k∈z）得，3π 2
+kπ≤x≤π 8
+kπ（k∈z），5π 8
∴函数F（x）的单调递增区间为 [-
+kπ，3π 8
+kπ]（k∈z），π 8
单调递减区间为[
+kπ，π 8
+kπ] （k∈z）．5π 8