问题
解答题
在平面直角坐标系xOy中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序排列，且O（0，0），P（1，t），Q（1-2t，2+t），其中t∈（0，+∞）．
（Ⅰ）求顶点R的坐标；
（Ⅱ）求矩形OPQR在第一象限部分的面积．
答案
（Ⅰ）设矩形OPQR对角线的交点为A，根据矩形的性质得到A为OQ及PR的中点，
∵O（0，0），Q（1-2t，2+t），∴A（
，1-2t 2
），2+t 2
又P（1，t），则R的坐标为（1-2t-1，2+t-t），即（-2t，2）；（4分）
（Ⅱ）矩形OPQR的面积S1=|OP|•|PQ|=
•1+t2
=2（1+t2）．（6分）4t2+4
1°当1-2t≥0时，设线段RQ与y轴交于点M，
直线RQ的方程为y-2=t（x+2t），（8分）
得点M的坐标为（0，2t2+2），
△OMR面积为S2=
OM•xR=2t(1+t2)，1 2
∴S（t）=S1-S2=2（1-t）（1+t2）．（10分）
2°当1-2t＜0时，设线段RQ与y轴交于点N，
直线RQ的方程为y-t=-
(x-1)，（12分）1 t
点N的坐标(0，t+
)，1 t
S(t)=S△OPN=
．（14分）t2+1 2t
从而S(t)=
．（16分）2(1-t)(1+t2)，0＜t≤ 1 2
t＞t2+1 2t 1 2