（1）质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点，设质点在C点的速度为v_C，质点从C点运动到A点所用的时间为t，在水平方向x=v_Ct

竖直方向上2R=

1

2

gt²，

解①②式有v_C=

x

2

g R

对质点从A到C由动能定理有W_F-mg•2R=

1

2

mv_C² 

解W_F=

mg(16R2+x2)

8R

 

（2）要使力F做功最少，确定x的取值，由W_F=2mgR+

1

2

mv_C²知，只要质点在C点速度最小，则功W_F就最小，就是物理极值．

若质点恰好能通过C点，其在C点最小速度为v，由牛顿第二定律有

mg=

mv2

R

，则v=

Rg

当x=vt=

Rg

×2

R g

=2R时，

W_F最小，最小的功W_F=

5

2

mgR．

答：（1）推力对小球所做的功为

mg(16R2+x2)

8R

．

（2）x取2R时，使质点完成BC段运动后落回水平面，水平恒力所做的功最少，最小功为

5

2

mgR．