已知向量m=（cosx，1-asinx），n=（cosx，2），设f（x）=m•

问题解答题

已知向量

=（cosx，1-asinx），

=（cosx，2），设f（x）=

•

，且函数f（x）的最大值为g（a）．
（Ⅰ）求函数g（a）的解析式．
（Ⅱ）设0≤θ≤2π，求函数（2cosθ+1）的最大值和最小值以及对应的值．

答案

（Ⅰ）由题意知f（x）=

•

=cos²x+2-2asinx=-sin²x-2asinx+3，

令t=sinx，则-1≤t≤1，从而h（t）=-t²-2at+3=-（t+a）²+a²+3，t∈[-1，1]．

对称轴为t=-a．

①当-a≤-1，即a≥1时，

h（t）=-t²-2at+3在t∈[-1，1]上单调递减，h（t）_max=h（-1）=2a+2；

②当-1＜-a＜1，即-1＜a＜1时，h（t）在[-1，-a]上单调递增，在[-a，1]上单调递减，∴h(t)max=h(-a)=a2+3．

③-a≥1，即a≤-1，h（t）=-t²-2at+3在t∈[-1，1]上单调递增，h（t）_max=h（1）=-2a+2；

综上，g(a)=

-2a+2，a≤-1

a2+3，-1＜a＜1

2a+2，a≥1

．

（2）由0≤θ＜2π知，-1≤2cosθ+1≤3．

又因为g（a）在[-1，0]上单调递减，在[0，3]上单调递增，

所以g（2cosθ+1）_max=max{g（-1），g（3）}=g（3）=8．θ=0；

g（2cosθ+1）_min=g（0）=3，θ=

π．