问题 填空题
函数y=
2sinx
sinx+2
的值域为______.
答案

方法1:分类变量法

因为y=

2sinx
sinx+2
=
2(sinx+2)-4
sinx+2
=2-
4
sinx+2

因为-1≤sinx≤1,所以1≤sinx+2≤3,

所以

1
3
1
sinx+2
≤1,
4
3
4
sinx+2
≤4

所以-2≤2-

4
sin⁡x+2
2
3
,即函数的值域为[-2,
2
3
]

方法2:函数的性质法.

因为-1≤sinx≤1,所以y(sinx+2)=2sinx,

即(2-y)sinx=2y,

若y=2,则0=4不成立,所以y≠2.

所以sinx=

2y
2-y

因为-1≤sinx≤1,所以|

2y
2-y
|≤1,

解得-2≤y≤

2
3
,即函数的值域为[-2,
2
3
]

单项选择题
单项选择题