当2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

时，即2kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

5

6

π，函数单调增，

∴函数f（x）在区间(-

π

6

，

π

3

)上单调递增，A不对；

令2x-

π

3

=

π

2

+kπ，∴x=

kπ

2

+

5

12

π（k∈Z），故函数f（x）的对称轴是x=

kπ

2

+

5

12

π（k∈Z），故B对；

将x=kπ+

π

6

代入到到函数f（x）中得到f（

π

6

）=1，故对称中心为（kπ+

π

6

，1），C不对；

将函数g（x）=2cos2x+1向右平移

π

6

个单位得到y=2cos2（x-

π

6

）+1=2cos（2x-

π

3

）+1，不是函数f（x），D不对．

故选A．