（1）由f（x+2）为偶函数可得f（x）=ax²+bx+1的图象关于直线x=2对称，

则-

b

2a

=2，b=-4a，f（x）=ax²-4ax+1；

对于任意的实数x₁、x₂（x₁≠x₂），都有

f(x1)+f(x1)

2

＞f(

x1+x2

2

)成立，则

f(x1)+f(x1)

2

-f(

x1+x2

2

)=

1

2

(ax12-4ax1+1+ax22-4ax2+1)-[a(

x1+x2

2

)2-4a

x1+x2

2

+1]=

1

2

a(x1-x2)2＞0，

因为x₁≠x₂，

所以（x₁-x₂）²＞0，

故a＞0．

（2）f（x）=ax²-4ax+1=a（x-2）²+1-4a，

因为a＞0，

所以a+2＞2．

当a+1≤2时，即0＜a≤1时，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=a³-4a²+1，

函数y=f（x）的值域为[1-4a，a³-4a²+1]；

当1＜a≤2时，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=a³-4a+1，

函数y=f（x）的值域为[1-4a，a³-4a+1]；

当a＞2时，f（x）_min=a³-4a²+1，f（x）_max=a³-4a+1，

函数y=f（x）的值域为[a³-4a²+1，a³-4a+1]．

（3）f（x）=ax²-4ax+1=a（x-2）²+1-4a，

当0＜a≤1时，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=a³-4a²+1，

f（x）_max-f（x）_min=a³-4a²+1-（1-4a）=a（a-2）²，

由0＜a≤1时，1≤（a-2）²＜4，则a（a-2）²＜4，而10-a³＞9，不合题意；

当1＜a＜2时，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=1-3a，

f（x）_max-f（x）_min=1-3a-（1-4a）=a，

由1＜a＜2，得10-a³＞2，所以a≠10-a³，不合题意；

当2≤a＜3时，f（x）_min=a³-4a²+1，f（x）_max=1-3a，f（x）_max-f（x）_min=1-3a-（a³-4a²+1）=10-a³，

故4a²-3a-10=0，（4a+5）（a-2）=0，

因为2≤a＜3，

所以a=2．

综上所述：存在常数a=2符合题意．