如图所示，AB和CDO都是处于竖直平面内的光滑圆弧形轨道，OA处于

问题问答题

如图所示，AB和CDO都是处于竖直平面内的光滑圆弧形轨道，OA处于水平位置．AB是半径为R=2m的

圆周轨道，CDO是半径为r=1m的半圆轨道，最高点O处固定一个竖直弹性档板．D为CDO轨道的中央点．BC段是水平粗糙轨道，与圆弧形轨道平滑连接．已知BC段水平轨道长L=2m，与小球之间的动摩擦因数μ=0.4．现让一个质量为m=1kg的小球P从A点的正上方距水平线OA高H处自由落下．（取g=10m/s²）

（1）当H=1.4m时，问此球第一次到达D点对轨道的压力大小．

（2）当H=1.4m时，试通过计算判断此球是否会脱离CDO轨道．如果会脱离轨道，求脱离前球在水平轨道经过的路程．如果不会脱离轨道，求静止前球在水平轨道经过的路程．

答案

（1）设小球第一次到达D的速度V_D，P到D点的过程对小球根据动能定理列式，有：

mg（H+r）-μmgL=

mV_D²

在D点对小球列牛顿第二定律：F_N=m

联立解得：F_N=32N

（2）第一次来到O点，速度V₁

P到O点的过程对小球根据动能定理列式，有：

mgH-μmgL=

mV₁²

解得：V₁²=12

要能通过O点，须mg＜m

临界速度V_O²=10

故第一次来到O点之前没有脱离，第二次来到D点是沿着原路返回，设第三次来到D点的动能E_K

对之前的过程根据动能定理列式，有：

mg（H+r）-3μmgL=E_K

代入解得：E_K=0

故小球一直没有脱离CDO轨道

设此球静止前在水平轨道经过的路程S

对全过程根据动能定理列式，有：

mg（H+R）-μmgS=0

解得：S=8.5m

答：（1）当H=1.4m时，此球第一次到达D点对轨道的压力大小为32N．（2）当H=1.4m时，此球不会脱离CDO轨道，静止前球在水平轨道经过的路程为8.5m．