问题
解答题
已知实数m为非零常数，且f（x）=loga(1+
（1）求m的值； （2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义加以证明； （3）当x∈（b，a）时，函数f（x）的值域为（1，+∞），请确定实数a与b的取值． |
答案
（1）若函数f（x）=loga(1+
)（a＞0且a≠1）为奇函数m x-1
故f（-x）+f（x）=loga(1+
)+loga(1+m -x-1
)=loga[(1+m x-1
)(1+m x-1
)]=loga[m -x-1
]=0-x2+(m-1)2 1-x2
即
=1，即（m-1）2=1-x2+(m-1)2 1-x2
∵m≠0，
∴m=2
（2）由（1）得f（x）=loga(1+
)=loga(2 x-1
)，x+1 x-1
当0＜a＜1时，函数在区间（1，+∞）上为增函数
当a＞1时，函数在区间（1，+∞）上为减函数，理由如下：
令x1，x2是区间（1，+∞）上的任意两个值，且x1＜x2，
则x2-x1＞0，x1-1＞0，x2+1＞0，1+
＞12(x2-x1) (x1-1)•(x2+1)
则f（x1）-f（x2）=loga(
)-loga(x1+1 x1-1
)=loga(x2+1 x2-1
•x1+1 x1-1
)=loga[1+x2-1 x2+1
]2(x2-x1) (x1-1)•(x2+1)
当0＜a＜1时，f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函数在区间（1，+∞）上为增函数
当a＞1时，f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函数在区间（1，+∞）上为减函数
（3）由（1）得f（x）=loga(
)的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），x+1 x-1
当0＜a＜1时，（b，a）⊊（-∞，-1）∪（1，+∞），此时函数的解析式无意义；
当a＞1，若函数的解析式有意义，则1≤b＜a，
由（2）可得，此时函数在（b，a）上为减函数
若函数f（x）的值域为（1，+∞）
则f（a）=1，
即loga(
)=1a+1 a-1
即
=aa+1 a-1
解得a=1+2
且
(1+lim x→b
)=+∞2 x-1
解得b=1
综上，a=1+
，b=12