问题
解答题
函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-x2, (Ⅰ)求x<0时,f(x)的解析式; (Ⅱ)问是否存在这样的正数a,b,当x∈[a,b]时,f(x)的值域为[
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答案
(Ⅰ)任取x<0,得-x>0,故有f(-x)=-2x-x2
又函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,有f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-2x-x2
∴x<0时,f(x)=2x+x2;
(Ⅱ)∵当x>0时,f(x)=-(x-1)2+1≤1,
若存在这样的正数a,b,则当x∈[a,b]时,[f(x)]max=
≤1⇒a≥1,1 a
∴f(x)在[a,b]内单调递减,
∴
⇒a,b是方程x3-2x2+1=0的两正根,
=f(b)=-b2+2b1 b
=f(a)=-a2+2a1 a
∵x3-2x2+1=(x-1)(x2-x-1)=0,
∴x1=1,x2=
,1+ 5 2
∴a=1,b=
.1+ 5 2