问题 解答题
函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-x2
(Ⅰ)求x<0时,f(x)的解析式;
(Ⅱ)问是否存在这样的正数a,b,当x∈[a,b]时,f(x)的值域为[
1
b
1
a
]
?若存在,求出所有的a,b的值;若不存在说明理由.
答案

(Ⅰ)任取x<0,得-x>0,故有f(-x)=-2x-x2

又函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,有f(-x)=-f(x),

∴-f(x)=-2x-x2

∴x<0时,f(x)=2x+x2

(Ⅱ)∵当x>0时,f(x)=-(x-1)2+1≤1,

若存在这样的正数a,b,则当x∈[a,b]时,[f(x)]max=

1
a
≤1⇒a≥1,

∴f(x)在[a,b]内单调递减,

1
b
=f(b)=-b2+2b
1
a
=f(a)=-a2+2a
⇒a,b是方程x3-2x2+1=0的两正根,

∵x3-2x2+1=(x-1)(x2-x-1)=0,

x1=1,x2=

1+
5
2

a=1,b=

1+
5
2

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