问题 填空题
已知函数f(x)=1-
1
x
(x>0),若存在实数a,b(a<b),使y=f(x)的定义域为(a,b)时,值域为(ma,mb),则实数m的取值范围是______.
答案

由题意,设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2

=(1-

1
x1
)-(1-
1
x2
)=
1
x2
-
1
x1
=
x1-x2
x1x2
<0,故函数f(x)=1-
1
x
(x>0)单调递增,

若存在实数a,b(a<b),使y=f(x)的定义域为(a,b)时,值域为(ma,mb),

f(a)=ma
f(b)=mb
,即
1-
1
a
=ma
1-
1
b
=mb
,解得
m=
1
ab
1
a
+
1
b
=1

由基本不等式可得1=

1
a
+
1
b
2
1
a
1
b
,解
ab
>2,(a<b取不到等号),故m=
1
ab
∈(0,
1
4

故答案为:m∈(0,

1
4
)

问答题
阅读理解与欣赏