问题 解答题

点P在锐角△ABC的边上运动,试确定点P的位置,使PA+PB+PC最小,并证明你的结论.

答案

当点P在锐角△ABC最短边上的高的垂足的位置时,

PA+PB+PC最小.

证明:如图,P为△ABC一边BC边,

上的高的垂足,而Q为BC边上的任一点,

∵PA+PB+PC=PA+BC,QA+QB+QC=QA+BC,PA<QA,

∴PA+PB+PC<QA+QB+QC

又设AC为△ABC最短边,作这边上的高BP′(如图),

可知BP'>AP.

在BP′上截取BoP′=AP,在BC上截取B′C=AC,

作B′Po⊥AC.垂足为Po

连接B′Bo

∵Rt△APC≌Rt△B'PoC,

∴AP=B'Po=BoP'.

∵四边形B'BoP'Po是矩形,

∴∠B'BoB=90°,

在△B'BoB中,B'B>BBo,

∵P'A+P'B+P'C=BBo+AP+AC,PA+PB+PC=BP'+AC+AP,

∴P'A+P'B+P'C<PA+PB+PC.

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