问题
解答题
| 已知函数f（x），当x，y∈R时恒有f（x+y）=f（x）+f（y）． （1）求f（0），并判断f（x）的奇偶性； （2）如果x＞0时，有f（x）＜0，试判断f（x）在R上的单调性，并给出证明； （3）在（2）的条件下，若f(1)=-
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答案
（1）令x=y=0得f（0）=0，
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），所以f（-x）=-f（x），
又x∈R，所以f（x）为奇函数．
（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x2）=f[x1+（x2-x1）]=f（x1）+f（x2-x1），
有f（x2）-f（x1）=f（x2-x1），
又∵x2-x1＞0，∴f（x2-x1）＜0，
∴f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在R上是减函数．
（3）由（2）知f（x）为在[-2，6]上为减函数．
∴f（x）max=f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，
f(x)min=f(6)=6f(1)=6×(-
)=-3．1 2
