（1）由

1

x

-1≥0得定义域为（0，1]．

（2）f（x）在（0，1）内单调递减，证明如下．

设0＜x₁＜x₂≤1，则f(x2)-f(x1)=

1 x2 -1

-

1 x1 -1

=

x1-x2 x2x1

1 x2 -1 + 1 x1 -1

＜0．

即f（x₂）＜f（x₁）．这就是说函数f（x）在（0，1]上单调递减．

（3）令y=

1 x -1

，解得x=

1

1+y2

（y≥0），即f-1(x)=

1

1+x2

（x≥0）．

（4）由f^-1（x₁）f^-1（x₂）＞f^-1（m），

化简得到：（1+x₁²）（1+x₂²）＜1+m²．

注意到m=x₁+x₂，以及x₁，x₂＞0代入整理得：x₁x₂＜2．

把x₂=m-x₁代入整理得到：x₁²-mx₁+2＞0．

该关于x₁的不等式对于一切（0，m）内的x₁恒成立．

所以(

m

2

)2-m•

m

2

+2＞0．解得0＜m＜2

2

．