问题
解答题
已知f(x)=
(1)求函数f(x)的定义域; (2)判断并用定义证明函数f(x)的单调性; (3)求函数f(x)的反函数f-1(x); (4)若对任意满足x1+x2=m的正实数x1、x2,不等式f-1(x1)f-1(x2)>f-1(m)恒成立.求m的取值范围. |
答案
(1)由
1 |
x |
(2)f(x)在(0,1)内单调递减,证明如下.
设0<x1<x2≤1,则f(x2)-f(x1)=
|
|
| ||||||||
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即f(x2)<f(x1).这就是说函数f(x)在(0,1]上单调递减.
(3)令y=
|
1 |
1+y2 |
1 |
1+x2 |
(4)由f-1(x1)f-1(x2)>f-1(m),
化简得到:(1+x12)(1+x22)<1+m2.
注意到m=x1+x2,以及x1,x2>0代入整理得:x1x2<2.
把x2=m-x1代入整理得到:x12-mx1+2>0.
该关于x1的不等式对于一切(0,m)内的x1恒成立.
所以(
m |
2 |
m |
2 |
2 |