问题
解答题
已知函数f（x）=log0.5（2sinx-1）．
（Ⅰ）写出它的值域．
（Ⅱ）写出函数的单调区间．
（Ⅲ）判断它是否为周期函数？如果它是一个周期函数，写出它的最小正周期．
答案
（Ⅰ）由2sinx-1＞0和-1≤sinx≤1得，
＜sinx≤1，1 2
则0＜2sinx-1≤1，∵函数y=log0.5x在定义域上是减函数，
∴函数f（x）的值域是[0，+∞）；（4分）
（Ⅱ）令y=2sinx-1，由2sinx-1＞0得，sinx＞
，1 2
解得2kπ+
＜x＜2kπ+π 6
，即函数的定义域是（2kπ+5π 6
，2kπ+π 6
）（k∈Z），5π 6
∵函数y=2sinx-1在（2kπ+
，2kπ+π 6
]（k∈Z）上是减函数，π 2
在[2kπ+
，2kπ+π 2
)（k∈Z）上是增函数；5π 6
又∵函数y=log0.5x在定义域上是减函数，
∴所求的减区间是（2kπ+
，2kπ+π 6
]，增区间是[2kπ+π 2
，2kπ+π 2
)5π 6
（Ⅲ）f（x）是周期函数；由y=sinx是周期函数知，此函数也是周期函数，且最小正周期是2π．
