问题 解答题
已知2f(x)-f(
1
x
)=x,x∈R
且x≠0.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数f(x)的值域.
答案

(1)在2f(x)-f(

1
x
)=x中,…①…

1
x
代替x,得2f(
1
x
)-f(x)=
1
x
,…②…

①×2+②,得3f(x)=2x+

1
x

所以f(x)=

2x
3
+
1
3x
(x≠0).

所以函数f(x)的解析式为f(x)=

2x
3
+
1
3x
(x≠0).

(2)由y=

2x
3
+
1
3x
得3xy=2x2+1,即2x2-3y•x+1=0.

因为x≠0,x∈R,所以关于x的方程2x2-3y•x+1=0有实数根.故△=9y2-8≥0,即y2

8
9

解得y≤-

2
2
3
,或y≥
2
2
3

所以函数f(x)的值域为(-∞,-

2
2
3
]∪[
2
2
3
,+∞).

名词解释
多项选择题