问题
解答题
已知2f(x)-f(
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数f(x)的值域. |
答案
(1)在2f(x)-f(
)=x中,…①…1 x
以
代替x,得2f(1 x
)-f(x)=1 x
,…②…1 x
①×2+②,得3f(x)=2x+
,1 x
所以f(x)=
+2x 3
(x≠0).1 3x
所以函数f(x)的解析式为f(x)=
+2x 3
(x≠0).1 3x
(2)由y=
+2x 3
得3xy=2x2+1,即2x2-3y•x+1=0.1 3x
因为x≠0,x∈R,所以关于x的方程2x2-3y•x+1=0有实数根.故△=9y2-8≥0,即y2≥
.8 9
解得y≤-
,或y≥2 2 3
.2 2 3
所以函数f(x)的值域为(-∞,-
]∪[2 2 3
,+∞).2 2 3