①函数f（x）的定义域是（0，+∞），令

x

x2+1

＞0，解得x＞0，故定义域是（0，+∞），命题正确；

②函数f（x）是奇函数，由①知，定义域不关于原点对称，故不是奇函数，命题不正确；

③函数f（x）的最大值为-lg2，因为f(x)=lg

x

x2+1

=lg

1

x+ 1 x

≤lg

1

2

=-lg2，最大值是-lg2，故命题正确；

④当0＜x＜1时，函数f（x）是增函数；当x＞1时，函数f（x）是减函数，命题正确，因为f′(x)=lg

1-x2

(x2+1)2

，令导数大于0，可解得0＜x＜1，令导数大于0，得x＞1，故命题正确．

综上，①③④正确

故答案为：①③④