问题
解答题
已知函数f（x）满足f(x+a)=-
（Ⅰ）若f（x）的定义域为（-∞，a）∪（a，+∞），求证：f（x）+f（2a-x）=-2对定义域内所有x都成立； （Ⅱ）若f（x）的定义域为[a+
（Ⅲ）若f（x）的定义域为（-∞，a）∪（a，+∞），设函数g（x）=x2+|（x-a）f（x）|，当a≥
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答案
（Ⅰ）∵f（x+a）=-
-1=-1 x
-11 (x+a)-a
∴f（x）=
（a∈R且x≠a）x+1-a a-x
∴f（x）+f（2a-x）=
+x+1-a a-x 2a-x+1-a a-2a+x
=
+x+1-a a-x
=a-x+1 x-a
=x+1-a-a+x-1 a-x
=-2．2(x-a) a-x
（Ⅱ）当a+
≤x≤a+1时，1 2
-1≤a-x≤-
，即-2≤1 2
≤-1，亦即-3≤-1+1 a-x
≤-2，1 a-x
∴-3≤
≤-2，x+1-a a-x
故f（x）的值域为[-3，-2]．
（Ⅲ）g（x）=x2+|x+1-a|=
，（x≠a）．(x+
)2+1 2
-a3 4 ，(x≥a-1) (x-
)2+a-1 2 5 4 ，(x＜a-1)
①当x≥a-1且x≠a时，g（x）=x2+x+1-a=(x+
)2+1 2
-a，3 4
∵a≥
，∴a-1≥-1 2
，即a≥1 2
时，1 2
在函数在[a-1，a）和（a，+∞）上单调递增，
gmin（x）=g（a-1）=（a-1）2；．
②当x≤a-1时，g（x）=x2-x-1+a=(x-
)2+a-1 2
，5 4
如果a-1≤
，即a≤1 2
时，g（x）在（-∞，a-1]上为减函数，3 2
gmin（x）=g（a-1）=（a-1）2．
如果a-1＞
，即a＞1 2
时，gmin（x）=g(3 2
)=a-1 2
；5 4
因为当a＞
时，(a-1)2-(a-3 2
)=(a-5 4
)2＞0，3 2
即（a-1）2＞a-
．5 4
综上所述，当
≤a≤1 2
时，g（x）的最小值是（a-1）2；3 2
当a＞
时，g（x）的最小值是a-3 2
．5 4