已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x-x2．（1

问题解答题

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x-x²．
（1）求函数y=f（x）的解析式．
（2）是否存在实数a，b（a≠b），使得y=f（x）在x∈[a，b]上的值域为[

，

]，若存在，求出实数a，b的值；若不存在，说明理由．

答案

（1）由题意，根据奇函数性质：f（x）=-f（-x）

当x＜0时，-x＞0，所以当x＜0时的解析式为：f（x）=-f（-x）=2x+x²

∵f（0）=0

∴f(x)=

2x-x2，x＞0.

2x+x2，x≤0.

（2）由

b＞a

＞

⇒ab＞0．

若a＞0，b＞0．

情形一 a＜1＜b：f（x）=2x-x²的最大值为1．得a=1（舍）．

情形二 a＜b＜1：f（a）＜1，f（b）＜1且在[a，b]上单调增，又

＞1（不符）

情形三 1≤a＜b：[a，b]上单调减得

f(a)=

f(b)=

⇒

a=1

（符合）

若a＜0，b＜0，同理可得a=

-1-

，b=-1