问题
解答题
已知定义在区间[-1，1]上的函数f(x)=
（1）求实数b的值． （2）判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并证明你的结论． （3）f（x）在x∈[m，n]上的值域为[m，n]（-1≤m＜n≤1 ），求m+n的值． |
答案
（1）∵定义在区间[-1，1]上的函数f（x）=
为奇函数，2x+b x2+1
∴f（0）=0，即b=0，…（2分）
检验：当b=0时，f（x）=
为奇函数，…（3分）2x x2+1
∴b=0．
（2）函数f（x）=
在区间（-1，1）上是增函数…（4分）2x x2+1
证明：∵f（x）=
，2x x2+1
∴f′（x）=2(x2+1)-2x•2x (x2+1)2
=
，…（6分）2(1-x2) (x2+1)2
∵x∈（-1，1），
∴f′（x）＞0，…（7分）
∴函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数 …（8分）
（3）由（2）知函数f（x）在区间[m，n]上是增函数，函数f（x）的值域为[f（m），f（n）]
∴
即f(m)=m f(n)=n
…（9分）
=m①2m m2+1
=n②2n n2+1
由①得m=-1 或 0或1，
由②得n=-1 或 0或1…（11分）
又∵-1≤m＜n≤1
∴m=-1，n=0；或m=-1，n=1；或m=0，n=1…（12）
∴m+n=-1；或m+n=0；或m+n=1…（13）