问题 解答题

已知定义域为R的函数y=f(x)和y=g(x),它们分别满足条件:对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b);对任意a,b∈R,都有g(a+b)=g(a)•g(b),且对任意x>0,g(x)>1.

(1)求f(0)、g(0)的值;

(2)证明函数y=f(x)是奇函数;

(3)证明x<0时,0<g(x)<1,且函数y=g(x)在R上是增函数;

(4)试各举出一个符合函数y=f(x)和y=g(x)的实例.

答案

(1)令a=b=0,则f(0)=f(0)+f(0)⇒f(0)=0

g(0)=g(0)•g(0)⇒g(0)=0或g(0)=1,

若g(0)=0,则g(x)=0,与条件矛盾.

故g(0)=1(也可令a=0,b=1,则不需要检验)

(2)f(x)的定义域为R,关于数0对称,

令a=x,b=-x,则f(-x)=-f(x).

故f(x)为奇函数.

(3)当x<0时,-x>0,g(-x)>1,

又g(x)•g(-x)=g(0)=1⇒0<g(x)<1

故∀x∈R,g(x)>0

证法一:设x1,x2为R上任意两个实数,且x1<x2

则x1-x2<0,g(x1-x2)<1g(x1)-g(x2

=g[(x1-x2)+x2]-g(x2)=[g(x1-x2)-1]•g(x2)<0.

故g(x)为R上的增函数.

证法二:设x1,x2为R上任意两个实数,且x1<x2

g(x1)
g(x2)
=
g[(x1-x2)+x2]
g(x2)
=g(x1-x2)<1

∴g(x)为R上的增函数.

(4)f(x)=2x;g(x)=2x

填空题
单项选择题

许多细菌和病毒会给人类带来疾病,造成死亡,然而,人们也正是利用这类______以毒攻毒,把它注射到正常人的身体里,使人体在后天产生对某种疾病的抵抗力.这种用来注射的细菌和病毒,就是疫苗(或菌苗).疫苗的利用,可以追溯到10世纪我国宋朝时代,当时一些民间医生就已知道用天花病人防疫注射的痘痂,吹进健康人的鼻孔里,使他在患轻微的天花病过程中,获得对天花病毒的免疫力.18世纪,天花病广泛流行,夺去了无数人的生命.英国乡村医生琴纳惊异地发现,面对令人惊恐战栗的天花,挤牛奶的姑娘们却没有一个生病.这是什么原因呢他进一步研究得知,原来姑娘们在挤牛奶时,手无意中接触了牛痘的浆液,牛痘病毒就从手上细小的伤口进入人体,虽然手上出现了寥寥无几的痘疹,但姑娘们对天花病毒从此具有了免疫力,这一发现使他大受启发,在经过一系列实验后,他为一个小男孩接种了牛痘,成功地获得了预防天花的免疫效果.这是人类用科学方法免疫防病的开端.经过几个世纪的努力,人们已经研制出了多种疫苗,用来注入人体,抵抗各种疾病的袭击,有效地控制了天花、麻疹、霍乱、鼠疫、伤寒、流行性脑炎、肺结核等许多传染病的蔓延.那么.人体注射了疫苗,为什么能预防传染病呢疫苗、菌苗都是利用微生物制成的,所以为生物制品.绝大多数生物制品对人体来说,是一种大分子胶体的异体物质,人们把它称为抗原.当抗原进入人体后,它可以刺激人体内产生一种与其相应的抗体物质.抗体具有抑制和杀灭病原茵的功能,这便是人体内的免疫作用.例如种牛痘所以能预防天花,就是因为预防接种后,抗原物质作用于人的机体,除了引起体内先天性免疫增强外,还能刺激人体内产生大量抗体和免疫活性物质______转移因子、干扰素等,这样,人体对再侵入的天花病毒就具有自动获得免疫力了.

根据上下文,在文中横线处填人最恰当的词语. ()

A.细菌和病毒

B.细菌

C.病毒

D.疾病