问题 解答题

已知定义域为R的函数y=f(x)和y=g(x),它们分别满足条件:对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b);对任意a,b∈R,都有g(a+b)=g(a)•g(b),且对任意x>0,g(x)>1.

(1)求f(0)、g(0)的值;

(2)证明函数y=f(x)是奇函数;

(3)证明x<0时,0<g(x)<1,且函数y=g(x)在R上是增函数;

(4)试各举出一个符合函数y=f(x)和y=g(x)的实例.

答案

(1)令a=b=0,则f(0)=f(0)+f(0)⇒f(0)=0

g(0)=g(0)•g(0)⇒g(0)=0或g(0)=1,

若g(0)=0,则g(x)=0,与条件矛盾.

故g(0)=1(也可令a=0,b=1,则不需要检验)

(2)f(x)的定义域为R,关于数0对称,

令a=x,b=-x,则f(-x)=-f(x).

故f(x)为奇函数.

(3)当x<0时,-x>0,g(-x)>1,

又g(x)•g(-x)=g(0)=1⇒0<g(x)<1

故∀x∈R,g(x)>0

证法一:设x1,x2为R上任意两个实数,且x1<x2

则x1-x2<0,g(x1-x2)<1g(x1)-g(x2

=g[(x1-x2)+x2]-g(x2)=[g(x1-x2)-1]•g(x2)<0.

故g(x)为R上的增函数.

证法二:设x1,x2为R上任意两个实数,且x1<x2

g(x1)
g(x2)
=
g[(x1-x2)+x2]
g(x2)
=g(x1-x2)<1

∴g(x)为R上的增函数.

(4)f(x)=2x;g(x)=2x

选择题
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