问题
解答题
已知:f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)在其定义域内的单调性;
(3)若f(x)在(1,+∞)内恒为正,试比较a-b与1的大小.
答案
(1)要使函数有意义,则ax-bx>0,∴(
)x>1,a b
∵
>1,∴x>0,∴f(x)的定义域为(0,+∞).a b
(2)设x2>x1>0,∵a>1>b>0,
∴ax2>ax1,bx1>bx2,则-bx2>-bx1,
∴ax2-bx2>ax1-bx1>0,∴
>1.ax2-bx2 ax1-bx1
∵函数y=lgx在定义域上是增函数,
∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
∴f(x)在(0,+∞)是增函数.
(3)由(2)知,函数f(x)在(0,+∞)是增函数,
∴f(x)在(1,+∞)是增函数,即有f(x)>f(1),
要使f(x)>0恒成立,必须函数的最小值f(1)≥0,
即lg(a-b)≥0=lg1,则a-b≥1.