问题 解答题

已知:f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0).

(1)求f(x)的定义域;

(2)判断f(x)在其定义域内的单调性;

(3)若f(x)在(1,+∞)内恒为正,试比较a-b与1的大小.

答案

(1)要使函数有意义,则ax-bx>0,∴(

a
b
)x>1,

a
b
>1,∴x>0,∴f(x)的定义域为(0,+∞).

(2)设x2>x1>0,∵a>1>b>0,

ax2ax1bx1bx2,则-bx2>-bx1

ax2-bx2ax1-bx1>0,∴

ax2-bx2
ax1-bx1
>1.

∵函数y=lgx在定义域上是增函数,

∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),

∴f(x)在(0,+∞)是增函数.

(3)由(2)知,函数f(x)在(0,+∞)是增函数,

∴f(x)在(1,+∞)是增函数,即有f(x)>f(1),

要使f(x)>0恒成立,必须函数的最小值f(1)≥0,

即lg(a-b)≥0=lg1,则a-b≥1.

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