（1）由f（-x）=-f（x）得b=0

∴f(x)=

x

ax2+1

又由函数f（x）的定义域为R知a≥0

当x≤0时，f(x)≤0 当x＞0时，f(x)= x ax2+1 ≤ x 2 ax2 = 1 2 a

当且仅当ax²=1即x=

1 a

时f(x)取得最大值

∴

1 a

=-即a=1

综上a=1，b=0…（6分）

（2）由

x

x2+1

+

mx

x+1

=0化简得

x(mx2+x+m+1)=0 ∴x=0或mx2+x+m+1=0 若0是方程mx2+x+m+1=0，则m=-1 此时方程mx2+x+m+1=0的另一根为x=1，不合题意

∴方程mx²+x+m+1=0在区间（-1，1）上有且仅有一个非零实根．

当m=0时，x=-1不合题意当m≠0时，分两种情况讨论

①△=0，x=

1

2m

∈(-1，1)得m=

-1- 2

2

②令h（x）=mx²+x+m+1则h（-1）•h（1）＜0且h（0）≠0解得-1＜m＜0

综上所述实数m的取值范围为(-1，0)∪{

-1- 2

2

}…（13分）