问题
解答题
已知函数f（x）=ax-lnx（a＞0)，g(x)=
（I）求证f（x）≥1+lna； （II）若对任意的x1∈[
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答案
（I）证明：求导数可得f′（x）=a-
（x＞0）1 x
令f′（x）＞0，可得x＞
，令f′（x）＜0，可得0＜x＜1 a 1 a
∴x=
时，函数取得最小值1 a
∴f（x）≥f（
）=1+lna；1 a
（II）g′（x）=
＞0，∴函数g（x），当x1∈[16 (x+2)2
，1 2
]时，函数为增函数，∴g（x）∈[2 3
，2]8 5
当
≥e时，函数f（x）在x2∈[1 a
，e]上单调减，∴f（x）∈[1 e2
+2，ae-1]a e2
∴
，无解；
+2≤a e2 8 5 ae-1≥2
当
＜1 e2
＜e时，函数f（x）在[1 a
，1 e2
]上单调减，在[1 a
，e]上单调增，f（1 a
）=1+lna≤1 a
，∴a≤e8 5
，∴3 5
＜a≤e1 e 3 5
当
≤1 a
时，函数f（x）在x2∈[1 e2
，e]上单调增，∴f（x）∈[1 e2
+2，ae-1]，∴a e2
，无解
+2≥2a e2 ae-1≤ 8 5
综上知，
＜a≤e1 e
．3 5