问题
问答题
已知列向量组α1，α2，…，αs线性无关，列向量组β1，β2，…，βt可由α1，α2，…，αs线性表示，且
记矩阵C=(cij)s×t，证明：向量组β1，β2，…，βt线性相关的充分必要条件为矩阵C的秩r(C)＜r。
答案
参考答案：由题设，有
[*]
=(α1，α2，…，α3)C，
其中矩阵C的第j列是βj由α1，α2，…，αs线性表示的表示系数(j=1，2，…，t)。
必要性 因为β1，β2，…，βt线性相关，所以存在不全为零的数x1，x2，…，xt，使
x1β1+x2β2+…+xtβt=0，
记作
[*]
其中x=(x1，x2，…，xt)T≠0，于是有
(β1，β2，…，βt)x=(α1，α2，…，αs)Cx=0，
因向量组α1，α2，…，αs线性无关，故上式中α1，α2，…，αs的组合系数Cx只能为零，即
Cx=0
又x≠0，即上述齐次线性方程组有非零解，因此矩阵C的秩r(C)＜t。
充分性 因为r(C)＜t，因此存在x≠0，使Cx=0，因而有
(β1，β2，…，βt)x=(α1，α2，…，αs)Cx=(α1，α2，…，αs)·0=0，记x=(x1，x2，…，xt)T，则上式为
x1β1+x2β2+…+xtβt=0，其中x1，x2，…，xt不全为零，故向量组β1，β2，…，βt线性相关
解析：[评注] 若t＞s，则r(C)＜t，因此β1，β2，…，βt必线性相关；若t=s，则β1，β2，…，βt线性相关的充分必要条件为矩阵C的行列式|C|=0。