问题
解答题
（1）已知：f(x)=
（2）a≥1，函数g（x）=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]，判断函数g（x）的单调性并予以证明； （3）当a≥1时，上述（1）、（2）小题中的函数f（x）、g（x），若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求a的取值范围． |
答案
（1）y=f(x)=2x+1+
-8，设t=2x+1，1≤t≤34 2x+1
则y=t+
-8，t∈[1，3].4 t
任取t1、t2∈[1，3]，且t1＜t2，f(t1)-f(t2)=
，(t1-t2)(t1t2-4) t1t2
当1≤t≤2，即0≤x≤
时，f（x）单调递减；1 2
当2＜t≤3，即
＜x≤1时，f（x）单调递增．1 2
由f(0)=-3，f(
)=-4，f(1)=-1 2
，得f（x）的值域为[-4，-3]．11 3
（2）设x1、x2∈[0，1]，且x1＜x2，
则g（x1）-g（x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22-3a2）＞0，
所以g（x）单调递减．
（3）由g（x）的值域为：1-3a2-2a=g（1）≤g（x）≤g（0）=-2a，
所以满足题设仅需：1-3a2-2a≤-4≤-3≤-2a，
解得，1≤a≤
．3 2