问题
解答题
| 已知A、B、C是△ABC的三个内角，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B0． （Ⅰ）求B0的大小； （Ⅱ）当B=
|
答案
（Ⅰ）由2sinB=sinA+sinC，利用正弦定理化简得：2b=a+c，即b=
，a+c 2
由余弦定理知cosB=
=a2+c2-b2 2ac
（2分）a2+c2-(
)2a+c 2 2ac
=
≥3(a2+c2)-2ac 8ac
=3(2ac)-2ac 8ac
，（4分）1 2
∵y=cosx在（0，π）上单调递减，
则B的最大值为B0=
；（6分）π 3
（Ⅱ）设cosA-cosC=x，①（8分）
∵B=
=3B0 4
，π 4
∴sinA+sinC=2sinB=
，②2
由①2+②2得，2-2cos（A+C）=x2+2．（10分）
又A+C=π-B=
，3π 4
∴x=±
，即cosA-cosC=±4 2
．（12分）4 2