（I）当ω=

1

2

时，f(x)=cos2

1

2

x=

1+cosx

2

，（2分）

∴f（x）的单调增区间是（2kπ-π，2kπ）（k∈Z）；（5分）

（II）化简得：f(x)=

1+cos2ωx

2

，

∵函数f（x）的图象的一条对称轴为x=

π

3

，

∴f(

π

3

)=

1+cos 2π 3 ω

2

取最值，

∴cos

2π

3

ω=±1，（8分）

∴

2π

3

ω=kπ（k∈Z），

∴ω=

3

2

k，（10分）

∵0＜ω＜2，

∴ω=

3

2

．（12分）