问题
解答题
已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）．设P4的坐标为（x4，0）．若1＜x4＜2，求tanθ的取值范围．
答案
设P1B=x，
∠P1P0B=θ，则CP1=1-x，
∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3均为θ，∴tanθ=
=x．P1B P0B
又tanθ=
=CP1 CP2
=x，1-x CP2
∴CP2=
=1-x x
-1．1 x
而tanθ=
=P3D P2D
=DP3 2-(
-1)1 x
=x，DP3 3- 1 x
∴DP3=x（3-
）=3x-1．1 x
又tanθ=
=AP3 AP4
=1-(3x-1) AP4
=x，2-3x AP4
∴AP4=
=2-3x x
-3．2 x
依题设1＜AP4＜2，即1＜
-3＜2，2 x
∴4＜
＜5，2 x
＞1 4
＞x 2
．1 5
∴
＞tanθ＞1 2
．2 5