问题
填空题
△ABC中，∠C=3∠A，AB=10，BC=8，则AC的长是______．
答案
∵∠C=3∠A，
∴sinC=sin3A=3sinA-4sin3A，
由正弦定理得：
=AB sinC
，BC sinA
∴sinC=AB•sinA BC
∴3sinA-4sin3A=
sinA，AB BC
∵sinA≠0，
∴3-4sin2A=
=10 8
，5 4
∴sin2A=
，7 16
∴sinA=
．7 4
∴cosA=
=1-sin2A
．3 4
∵sinB=sin（A+C）=sin4A=sin2×2A=2sin2Acos2A=4sinAcosA（2cos2A-1）=4×
×7 4
×[2×（3 4
）2-1]=（3 4
）×3 4
×7
，1 8
∴sinB=
．再3 7 32
∵
=AC sinB
，BC sinA
∴AC=
=8×BC•sinB sinA
÷3 7 32
3，7 4
∴AC=3．
故答案为：3．