问题 填空题

x,y是两个不相等的正数,且满足x3-y3=x2-y2,则[9xy]的最大值为______.(其中[x]表示不超过x的最大整数).

答案

∵x,y是两个不相等的正数,且满足x3-y3=x2-y2,∴x2+xy+y2=x+y,

将其看成y的函数,解出y=

1
2
(1-x±
1+2x-3x2
),由定义域知-
1
3
<x<1,

若y=

1
2
(1-x-
1+2x-3x2
),

解y>0,1-x-

1+3x
1-x
>0,1-x>1+3x,x<0,与x,y同为正数不符,

所以y=

1
2
(1-x+
1+2x-3x2
),且y>0,x>0,

(1+2x-3x2)=3[

4
9
-(x-
1
3
2],

设x-

1
3
=
2
3
sinα,即x=
1
3
(1+2sinα),其中-
π
2
≤α≤
π
2

由x>0,知-

π
6
<α≤
π
2

y=

1
2
(1-x+
1+2x-3x2
)=
1
3
(1-sinα+
3
cosα),

由x,y不相等,知1+2sinα≠1-sinα+

3
cosα,tanα≠
1
3
,知α≠
π
6

9xy=(1+2sinα)(1-sinα+

3
cosα)=1+sinα+
3
cosα-2sin2α+2
3
sinαcosα,

∵(sinα+

3
cosα)2=sin2α+2
3
sinαcosα+3cos2α=3-2sin2α+2
3
sinαcosα,

9xy=-2+sinα+

3
cosα+(sinα+
3
cosα)2=(sinα+
3
cosα+
1
2
2-
9
4

∵sinα+

3
cosα=2sin(α+
π
3
),-
π
6
<α≤
π
2
,α≠
π
6

π
6
<α+
π
3
6
,但α+
π
3
π
2

∴1≤2sin(α+

π
3
)<2.

所以9xy=(sinα+

3
cosα+
1
2
2-
9
4
<(2+
1
2
2-
9
4
=4.

∴[9xy]的最大值为3.

故答案为:3.

多项选择题 案例分析题
单项选择题 A1/A2型题