问题
解答题
已知f(x)=x+
（1）b=2时，求f（x）的值域； （2）若b为正实数，f（x）的最大值为M，最小值为m，且满足：M-m≥4，求b的取值范围． |
答案
（1）当b=2时，f(x)=x+
-3，x∈[1，2]，2 x
因为f（x）在[1，
]上单调递减，在[2
，2]上单调递增，…（2分）2
所以f（x）的最小值为f(
)=22
-3，…（4分）2
又因为f（1）=f（2）=0…（5分）
所以f（x）的值域为[2
-3，0]…（6分）2
（2）①当0＜b＜2时，f（x）在[1，2]上单调递增，
则m=b-2，M=
-1，此时M-m=-b 2
+1≥4，得b≤-6与0＜b＜2矛盾（舍去）…（8分）b 2
②当2≤b＜4时，f（x）在[1，
]上单调递减，在[b
，2]上单调递增，b
所以M=max{f(1)，f(2)}=b-2，m=f(
)=2b
-3，b
则M-m=b-2
+1≥4，得(b
-1)2≥4，解得b≥9，与2≤b＜4矛盾（舍去）…（11分）b
③当b≥4时，f（x）在[1，2]上单调递减，
则M=b-2，m=
-1，此时M-m=b 2
-1≥4，得b≥10…（13分）b 2
综上所述，b的取值范围是[10，+∞）…（14分）