问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）求f（x）的定义域和值域； （2）讨论f（x）的奇偶性并证明； （3）判断f（x）在（0，+∞）的单调性并证明． |
答案
（1）令分母2x-1≠0解得x≠0，故定义域为{x|x≠0}
函数的解析式可以变为f(x)=1+
，由于2x-1＞-1，故2 2x-1
＜-1或1 2x-1
＞01 2x-1
故
＞0或2 2x-1
＜-2，2 2x-1
∴f(x)=
的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）2x+1 2x-1
（2）函数是一个奇函数，证明如下
f(-x)=
=2-x+1 2-x-1
= -2x+1 1-2x
=-f(x)，故是一个奇函数．2x+1 2x-1
（3）f（x）在（0，+∞）是一个减函数，证明如下
由于f(x)=1+
，在（0，+∞）上，2x-1递增且函数值大于0，2 2x-1
在（0，+∞）上是减函数，故f(x)=1+2 2x-1
在（0，+∞）上是减函数2 2x-1