问题
解答题
已知向量
（1）求f（x）的解析式； （2）设g（x）=log2f（x），求g（x）的定义域和单调递增区间． （3）证明：直线x=
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答案
（1）f(x)=2(sin2ωx+
sinωx•cosωx)=1-cos2ωx+3
sin2ωx=2(sin2ωx•3
-cos2ωx•3 2
)+1=2sin(2ωx-1 2
)+1π 6
∵ω＞0，
∴T=
=2π 2ω
=π，π ω
∴ω=1，
∴f(x)=2sin(2x-
)+1π 6
（2）g(x)=log2[2sin(2x-
)+1]，π 6
由2sin(2x-
)+1＞0得：sin(2x-π 6
)＞-π 6
，1 2
∴2kπ-
＜2x-π 6
＜π 6
+2kπ7π 6
∴kπ＜x＜kπ+
(k∈Z)，2π 3
即g（x）的定义域为(kπ，kπ+
)(k∈Z)2π 3
∴2kπ-
＜2x-π 6
≤2kπ+π 6
⇒kπ＜x≤kπ+π 2
，π 3
故增区间为(kπ，kπ+
](k∈Z)．π 3
（3）设
+x在g（x）的定义域中，则对一切k∈Z，有kπ＜5π 6
+x＜kπ+5π 6
，2π 3
∴-kπ-
＜-2π 3
-x＜-kπ5π 6
∴(-k+1)π＜
-x＜(-k+1)π+5π 6
(k∈Z)2π 3
∴点
-x也在g（x）的定义域中．5π 6
又 g(
+x)=log2(-2cos2x+1)，g(5π 6
-x)=log2(-2cos2x+1)5π 6
∴g(
+x)=g(5π 6
-x)，故g（x）的图象关于直线x=5π 6
对称．5π 6
