∵f（x）=sin2x+2

3

cos²x-

3

=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），

当x∈[0，

π

4

]，2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，

∴sin（2x+

π

3

）∈[1，2]，

∴f（x）∈[1，2]，

对于g（x）=mcos（2x-

π

6

）-2m+3（m＞0），2x-

π

3

∈[-

π

3

，

π

6

]，mcos（2x-

π

6

）∈[

m

2

，m]，

∴g（x）∈[-

3m

2

+3，3-m]，

若存在x₁，x₂∈[0，

π

4

]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，

则3-m≥1，-

3m

2

+3≤2，解得实数m的取值范围是[

2

3

，2]．

故答案为：[

2

3

，2]．