已知函数f（x）=2x+1定义在R上．
（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，求函数g（x），h（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（2x）+2mh（x）+m2-m-1（m∈R），设h（x）=t，把F（x）表示为t的函数p（t）；
（3）若关于的方程F（x）=m2-m+2在x∈[1，2]上有解，求实数m的取值范围．
（1）假设f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）偶函数，h（x）为奇函数，
则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，
由①、②解得g(x)=，h(x)=．（2分）
∵f（x）定义在R上，∴g（x），h（x）都定义在R上．
∵g(-x)==g(x)，h(-x)==-h(x)．
∴g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，
把f（x）=2x+1代入求得，g(x)===2x+，h(x)===2x-．（6分）
（2）由2x-=t，则t∈R，平方得t2=(2x-)2=22x+-2，
∴g(2x)=22x+=t2+2，代入F（x）的解析式得，
p（t）=t2+2mt+m2-m+1．（10分）
（3）∵t=h（x）=2x-在区间[1，2]上单调递增，∴≤t≤．（12分）
由F（x）=m2-m+2得t2+2mt-1=0
∴m=(-t)，令ϕ（t）=(-t)(t∈[，])
由题意得，m的取值范围就是函数ϕ（t）的值域．（14分）
∵，-t在t∈[，]上均为减函数，
故ϕ（t）在t∈[，]上单调递减，而ϕ()=-ϕ()=-，
∴函数ϕ（t）的值域为[-，-]
即m的取值范围为[-，-]（16分）
