根据题意有对于小环的运动，根据环受竖直向上的拉力F与重力mg的大小分以下三种情况讨论：

（1）当mg=kv₀时，即v₀=

mg

k

时，环做匀速运动，摩擦力为零，W_f=0，环克服摩擦力所做的功为零；

（2）当mg＞kv₀时，即v₀＜

mg

k

时，环在运动过程中做减速运动，直至静止．由动能定理得环克服摩擦力所做的功为W_f=

1

2

m

v

20

；

（3）当mg＜kv₀时，即v₀＞

mg

k

时，环在运动过程中先做减速运动，当速度减小至满足mg=kv时，即v=

mg

k

时环开始做匀速运动．由动能定理得摩擦力做的功

W_f=

1

2

mv²-

1

2

m

v

20

=

m3g2

2k2

-

1

2

m

v

20

，即环克服摩擦力所做的功为

1

2

m

v

20

-

m3g2

2k2

．

故选B