问题
解答题
| 我们已经知道了一些特殊的勾股数，如三个连续整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；由此发现勾股数的正整数倍仍然是勾股数． （1）如果a、b、c是一组勾股数，即满足a2+b2=c2，求证：ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数． （2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，如 ①公式a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2（m、n为整数，m＞n，m＞1） ②世界上第一次给出的勾股数的公式，被收集在《九章算术》中a=
③公元前427-公元前347，由柏拉图提出的公式a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n＞1，且n为整数） ④毕达哥拉斯学派提出的公式a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1（n为正整数），请你在上述的四个公式中选择一种加以证明，满足公式的a、b、c是一组勾股数 （3）请根据你在（2）中所选的公式写出一组勾股数． |
答案
（1）（ka）2+（kb）2=k2a2+k2b2=k2（a2+b2）=k2c2=（kc）2，
ka、kb、kc是勾股数；
（2）柏拉图提出的公式a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n＞1，且n为整数），
a2=（n2-1）2=n4-2n2+1，
b2=4n2，
a2+b2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2=c2，
∴a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n＞1，且n为整数），是勾股数；
（3）使n=2，
则：a=3，b=4，c=5．