问题
解答题
设a∈R，f（x）为奇函数，f(2x)=
（1）写出函数f（x）的定义域； （2）求a，并写出f（x）的表达式； （3）用函数单调性定义证明：函数f（x）在定义域上是增函数．（可能用到的知识：若x1＜x2，则0＜2x1＜2x2，0＜4x1＜4x2） |
答案
（1）由题意f(2x)=
∴f(x)=a22x+a-2 22x+1
（2分）a2x+a-2 2x+1
故函数f（x）的定义域为R（4分）
（2）∵f（x）为奇函数∴f（-x）=-f（x）对任意的x∈R都成立∴f（0）=0（7分）
即a+a-2=0∴a=1（10分）
所以f(x)=
=1-2x-1 2x+1
（11分）2 2x+1
（3）对任意的x1，x2∈R且x1＜x2（14分）f(x1)-f(x2)=1-
-(1-2 2x1+1
)2 2x2+1
=
-2 2x2+1 2 2x1+1
=
＜0（16分）2(2x1-2x2) (2x1+1)(2x2+1)
即f（x1）＜f（x2）
函数f（x）在R上单调递增（17分）