参考答案：

[分析]： (1)利用连续函数零点定理证明根的存在性，利用单调性证明根的唯一性．
(2)由于f(x)连续且f(x)＞0，则F(x)处处可导．而|F(x)|与F(x)的可导性有何关系呢
[证] 1)显然[*]是[a，b]上的连续函数，由于
[*]
由连续函数零点定理知，F(x)在(a，b)内至少有一个零点，又
[*]
则F(x)在[a，b]上单调增，从而F(x)在(a，b)内最多一个零点．
故方程F(x)=0在(a，b)有唯一实根．
2)不妨设F(x)在区间(a，b)内的唯一零点为x₀，以下证明F(x)在(a，b)内仅．在x₀点不可导，其余点都可导．事实上，由前面讨论知
F(x₀)=0，F′(x₀)＞0
令[*]，则
[*]
[*]，则
[*]在x₀处不可导，即|F(x)|在x₀处不可导．
若x₁≠x₀，且x₁∈(a，b)，则
F(x₁)≠0
不妨设F(x₁)＞0，由于F(x)连续，则存在x₁的邻域，在此邻域内F(x)＞o，从而在此邻域内
|F(x)|=F(x)
由于F(x)在点x₁处可导，则|F(x)|在x₁处可导．这说明|F(x)|在(a，b)内除x₀点外处处可导．
故|F(x)|在(a，b)内有且仅有一个不可导的点．
[评注] 由本题2)的证明可得到关于f(x)和|f(x)|可导性之间的关系．结论是设f(x)在(a，b)内连续，则在(a，b)内使函数值f(x)不为零的点上，函数f(x)与|f(x)|可导性相同，而在函数值f(x)为零的点上，f(x)与|f(x)|的可导性不完全相同，关于此问题有以下结论：
1)若f(x₀)=0，且f′(x₀)≠0，则|f(x)|在x₀处不可导(本题中已证明)；
2)若f(x₀)=0，且f′(x₀)=0，则|f(x)|在x₀处可导(请读者证明)；
3)若f(x₀)=0，且f(x)在x₀点不可导，则|f(x)|在x₀点一定不可导(请读者证明)．
以上结论在处理有关f(x)和|f(x)|的可导性的问题时会给我们带来很多方便．tu/1212/yjs/ky/s1279.18A2E76.jpgtu/1212/yjs/ky/s1279.18A7D32.jpgtu/1212/yjs/ky/s1279.18B2A79.jpgtu/1212/yjs/ky/s1279.18CA3AC.jpgtu/1212/yjs/ky/s1279.18D109E.jpgtu/1212/yjs/ky/s1279.18D5EED.jpgtu/1212/yjs/ky/s1279.18DC885.jpg