参考答案：

[分析]： 此类问题一般都需构造辅助函数，然后用罗尔定理．
要证f′(ξ)+g′(ξ)[f(ξ)-ξ]=1，即要证
[f′(ξ)-1]+g′(ξ)[f(ξ)-ξ]=0．
为此，可令F(x)=(f(x)-x)e^g(x)，
此时 F′(x)=e^g(x){[f′(x)-1]+g′(x)[f(x)-x]}
[证] 令F(x)=(f(x)-x)e^g(x)，则
F(0)=-e^g(0)＜0，F(1)=-2e^g(1)＜0，
又[*]
由积分中值定理知，至少存在一点c∈(0，1)，使
f(c)-c＞0
即 F(c)＞0．
由连续函数的零点定理知：
存在点a∈(0，c)，使F(a)=0，
存在点b∈(c，1)，使F(b)=0，
则F(z)在区间[a，b]上满足罗尔定理条件，由罗尔定理知，至少存在一点ξ∈(a，b)，使
F′(ξ)=0
即e^g(ξ){[f′(ξ)-1]+g′(ξ)[f′(ξ)-ξ]}=0
但e^g(ξ)≠0
则[f′(ξ)-1]+g′(ξ)[f(ξ)-ξ]=0
故至少存在一点ξ∈(0，1)，使
f′(ξ)+g′(ξ)[f(ξ)-ξ]=1．
[评注] 本题的关键在于构造辅助函数．如果要证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使
f′(ξ)+g′(ξ)f(ξ)=0
可构造辅助函数 F(x)=e^g(x)f(x)
此时，F′(x)=e^g(x)[f′(x)+g′(x)f(x)]这代表了一类比较常见的辅助函数，特别的要证至少存在一点ξ∈(a，b)，使
f′(ξ)+λf(ξ)=0(λ为实数)
即g′(x)=λ，可取g(x)=λx
F(x)=e^λxf(x)．tu/1212/yjs/ky/s1279.1A47EBA.jpg