问题
解答题
| 根据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”． （1）观察：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；…发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且
发现规律：勾为n（n≥3，且n为奇数）时有：股=
（2）根据（1）的规律，用n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾，股，弦，合理猜想它们之间的两种等量关系并对其中一种猜想加以证明？ （3）继续观察①4，3，5；②6，8，10；②8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述的探索的方法，直接用m（m为偶数，且m≥4）的代数式来表示它们的股和弦． |
答案
（1）7，24，25的股的算式是：
(49-1)=1 2
(72-1)，（2分）1 2
弦的算式是：
(49+1)=1 2
(72+1)；（1分）1 2
（2）当n为奇数，且n≥3时，勾、股、弦的代数式分别是：n，
(n2-1)，1 2
(n2+1)，（2分）1 2
猜想关系式1：弦-股=1；关系式2：勾2+股2=弦2，
例如关系式1证明：
弦-股=
(n2+1)-1 2
(n2-1)=1，（2分）1 2
或关系式2证明：
勾2+股2=n2+[
(n2-1)]2=1 2
n4+1 4
n2+1 2
=1 4
(n2+1)2=弦2，1 4
∴猜想成立；
（3）当m为偶数，且m≥4时，
股、弦的代数式分别是：(
)2-1，(m 2
)2+1．（2分）m 2