问题
解答题
已知两点F1（-2，0），F2（2，0），曲线C上的动点M满足|MF1|+|MF2|=2|F1F2|，直线MF2与曲线C交于另一点P．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设N（-4，0），若S△MNF2：S△PNF2=3：2，求直线MN的方程．
答案
（Ⅰ）因为|F1F2|=4，|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=8＞4，
所以曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆．
曲线C的方程为
+x2 16
=1．（4分）y2 12
（Ⅱ）显然直线MN不垂直于x轴，也不与x轴重合或平行．（5分）
设M（xM，yM），P（xP，yP），直线MN方程为y=k（x+4），其中k≠0．
由
得（3+4k2）y2-24ky=0．
+x2 16
=1y2 12 y=k(x+4)
解得y=0或y=
．24k 4k2+3
依题意yM=
，xM=24k 4k2+3
yM-4=1 k
．（7分）-16k2+12 4k2+3
因为S△MNF2：S△PNF2=3：2，
所以
=|MF2| |F2P|
，则3 2
=MF2 3 2
．F2P
于是2-xM=
(xP-2)3 2 0-yM=
(yP-0)3 2
所以
（9分）xP=
(2-xM)+2=2 3 24k2+2 4k2+3 yP=-
yM=2 3
.-16k 4k2+3
因为点P在椭圆上，所以3(
)2+4(24k2+2 4k2+3
)2=48．-16k 4k2+3
整理得48k4+8k2-21=0，
解得k2=
或k2=-7 12
（舍去），3 4
从而k=±
．（（11分））21 6
所以直线MN的方程为y=±
(x+4)．（12分）21 6